1.8 微分放大器

在本教程中，我们将学习运算放大器作为微分器（或微分放大器）的工作原理和实现方法。微分放大器可以是无源的或有源的，这取决于其设计中使用的元件。将运算放大器配置为微分器或微分放大器，本质上是将运放用作高通滤波器，它被广泛应用于波形整形电路、频率调制器等。

在另一个教程中，我们已经讨论了运算放大器作为积分器的应用，学习了如何将运算放大器配置为积分器。在这里，我们将进行类似的分析，但这次针对的是运算放大器作为微分器。

关于无源高通滤波器的更多信息，请阅读《无源高通 RC 滤波器》和《有源高通滤波器》。有关运放的基础知识，请参阅《运算放大器基础》。

运放微分器

运放微分器或微分放大器是一种与积分器电路相反的电路配置。它产生一个输出信号，其瞬时幅度与施加的输入电压的变化率成正比。

从数学上讲，微分器的输出信号是输入信号的一阶导数。例如，如果输入信号是一个锯齿波，那么以运放作为微分器的电路输出将是简单的直流电（因为锯齿波信号的变化率是恒定的）。同样，如果输入信号是一个正弦波，那么输出信号也是一个正弦波，但相位差为90°。

仅使用 RC 网络的微分器称为无源微分器，而使用有源电路元件（如晶体管和运算放大器）的微分器称为有源微分器。有源微分器比简单的 RC 微分器具有更高的输出电压和更低的输出电阻。

运放微分器是一种反相放大器，它在输入电压中串联了一个电容器。微分电路通常被设计为对三角波和矩形波输入波形做出响应。

在处理正弦波输入时，微分器存在频率限制；该电路衰减所有低频信号分量，仅允许高频分量出现在输出端。换句话说，该电路表现得像一个高通滤波器。

理想运放微分器电路

运放微分放大器在输入电压源中串联了一个电容器，如下图所示。

对于直流输入，输入电容器 $C_1$ 在达到其电势后，无法接受任何电荷，表现得像开路。运放的非反相输入端通过电阻 $R_{comp}$ 接地，提供输入偏置补偿，反相输入端通过反馈电阻 $R_f$ 连接到输出端。

因此，该电路表现得像一个电压跟随器。

当输入是一个正向电压时，电流 $I$ 流入电容器 $C_1$，如下图所示。由于流入运放内部电路的电流为零，实际上所有电流 $I$ 都流经电阻 $R_f$。输出电压为

$V_{out} = - (I \cdot R_f)$

这里，输出电压与输入电压的变化率成正比。

从图中可以看出，节点“X”被虚拟接地，节点“Y”也处于地电位，即

$V_X = V_Y = 0$

从输入端来看，电流 $I$ 可以表示为：

$I = C_1 \frac{d(V_{in} - V_X)}{dt} = C_1 \frac{d(V_{in})}{dt}$

从输出端来看，电流 $I$ 表示为：

$I = -\frac{(V_{out} - V_X)}{R_f} = -\frac{V_{out}}{R_f}$

将上述两个电流方程相等，我们得到：

$C_1 \frac{d(V_{in})}{dt} = -\frac{V_{out}}{R_f}$ $V_{out} = -C_1 R_f \frac{d(V_{in})}{dt}$

上述方程表明，输出是输入电压的微分的 $C_1 R_f$ 倍。乘积 $C_1 R_f$ 称为微分器电路的 RC 时间常数。负号表示输出与输入相位相差180°。

这种有源微分放大器电路的主要优点是微分所需的较小时间常数。

输入和输出波形

现在我们来看不同输入信号的输出波形。当将幅度为 $V_m$ 的阶跃输入（直流电平）施加到运放微分器时，输出可以表示为

$V_{out} = -C_1 R_f \frac{d(V_m)}{dt}$

为了简化，假设 $C_1 R_f$ 的乘积为1。

因此，$V_{out} = 0$，因为幅度 $V_m$ 是恒定的，且 $\frac{d(V_m)}{dt} = 0$。

但实际上，输出并不为零，因为输入阶跃波从0伏特上升到 $V_m$ 伏特需要有限的时间。因此，输出在 $t = 0$ 时出现一个尖峰，如下图所示。

如果将微分器的输入改为方波，则输出将是一个包含正负尖峰的波形，对应于电容器的充放电，如下图所示。

对于正弦波输入，其数学表达式为 $V(t) = V_m \sin \omega t$，其中 $V_m$ 是输入信号的幅度，$t$ 是周期，微分器的输出为

$V_{out} = -C_1 R_f \frac{d(V_m \sin \omega t)}{dt}$

为了简化，假设 $C_1 R_f$ 的乘积为1。

$V_{out} = -V_m \omega \cos \omega t$

因此，微分器对于正弦波输入的输出是一个余弦波，输入和输出波形如下图所示。

理想微分器的频率响应

运放微分器的增益直接取决于输入信号的频率。因此，对于直流输入（$f = 0$），输出也为零。随着输入信号频率的增加，输出也随之增加。理想微分器的频率响应如下图所示。

频率 $f_1$ 是微分器增益变为1的频率。从图中可以看出，对于小于 $f_1$ 的频率，增益小于1。对于 $f_1$，增益变为1（0 dB），并且超过 $f_1$ 后，增益以每十倍频程20 dB的速率增加。

实际运放微分器电路

对于理想微分器，随着频率的增加，增益也会增加。因此，在某些较高频率下，微分器可能会变得不稳定并引起振荡，从而产生噪声。

在实际微分器电路中，可以通过使用与输入电容器串联的电阻 $R_1$ 和与反馈电阻并联的电容器 $C_f$ 来避免或纠正这些问题，如下图所示。

实际运放微分器电路的输出电压表示为

$V_{out} = -C_1 R_f \frac{d(V_{in})}{dt}$

即，输出电压是输入电压微分的 $C_1 R_f$ 倍。

添加电阻 $R_1$ 和电容器 $C_f$ 可以在较高频率下稳定电路，并减少噪声对电路的影响。

实际微分器的频率响应

实际微分器的增益随着频率的增加而增加，在特定频率 $f_1$ 处，增益变为1（0 dB）。增益继续以每十倍频程20 dB的速率增加，直到输入频率达到频率 $f_2$。

超过这个输入信号频率后，微分器的增益开始以每十倍频程20 dB的速率减小。这种效果是由于添加了电阻 $R_1$ 和电容器 $C_f$。实际微分器的频率响应曲线如下图所示。

运放微分器的应用

微分放大器通常被设计为对三角波和矩形波信号进行操作。

微分器还被应用于波形整形电路，以检测输入信号中的高频分量。

运放微分器总结

运放微分放大器是一种反相放大器电路配置，它使用反应元件（通常是电容器而非电感器）。

微分器对输入信号执行随时间的数学微分运算，即瞬时输出电压与输入信号的变化率成正比。

微分电路通常用于对三角波和矩形波信号进行操作。在处理正弦波输入时，微分电路存在频率限制。